Question

7．已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線$x-y+2\sqrt{2}=0$的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的性質(zhì)得到c，求出a，b，即可求解橢圓方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式以及韋達(dá)定理，求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用AM=AN，驗(yàn)證m是否存在即可．

解答 解：（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸，頂點(diǎn)A（0，-1），∴b=1，設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），
由題意得$\frac{{|{c+2\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=3$，∴$c=\sqrt{2}$，
可得b=1，
∴$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}，4{x^2}+6mx+3{m^2}-3=0，\left\{{\begin{array}{l}{△=36{m^2}-16（{3{m^2}-3}）＞0}\\{{x_1}+{x_2}=-\frac{3m}{2}}\end{array}}\right.}\right.$，
即M，N的中點(diǎn)坐標(biāo)$Q（{-\frac{3m}{4}，\frac{m}{4}}）$，∵AM=AN，
∴k_AQ=-1，∴m=2經(jīng)檢驗(yàn)△=0不合題意，
∴不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．