Question

3．已知函數(shù)$f（x）=4cosωxsin（{ωx+\frac{π}{6}}）-2（{ω＞0}）$，若函數(shù)相鄰最高點(diǎn)間的距離為π．
（1）求ω及f（x）的對稱中心；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用函數(shù)相鄰最高點(diǎn)間的距離推出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求得ω，在求出對稱中心，
（2）根據(jù)x的范圍，確定2x+$\frac{π}{6}$的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答 解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx-2=$\sqrt{3}$sin2ωx+cosωx-1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1，
∵函數(shù)相鄰最高點(diǎn)間的距離為π，
∴T=π=$\frac{2π}{ω}$
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，-1），
（2）∵x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．