Question

13．已知復(fù)數(shù)z₁=-a²+2a+ai，z₂=2xy+（x-y）i，其中a，x，y∈R，且z₁=z₂，求3x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)z₁=z₂，可得-a²+2a=2xy，a=x-y，消去a可得：（x-1）²+（y+1）²=2．可得圓心C（1，-1），半徑r=$\sqrt{2}$．令3x+y=t，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：復(fù)數(shù)z₁=-a²+2a+ai，z₂=2xy+（x-y）i，其中a，x，y∈R，且z₁=z₂，
∴-a²+2a=2xy，a=x-y，
消去a可得：x²+y²-2x+2y=0，即（x-1）²+（y+1）²=2．可得圓心C（1，-1），半徑r=$\sqrt{2}$．
令3x+y=t，則$\frac{|3-1-t|}{\sqrt{10}}$≤$\sqrt{2}$，
解得：2-2$\sqrt{5}$≤t≤2+2$\sqrt{5}$．
∴3x+y的取值范圍是[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)相等、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．