【題目】已知數(shù)列a,b,c是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0).在a,b之間和b,c之間共插入n個實數(shù),使得這n+3個數(shù)構成等比數(shù)列,其公比為q.
(1)求證:|q|>1;
(2)若a=1,n=1,求d的值;
(3)若插入的n個數(shù)中,有s個位于a,b之間,t個位于b,c之間,且s,t都為奇數(shù),試比較s與t的大小,并求插入的n個數(shù)的乘積(用a,c,n表示).
【答案】(1)見解析;(2).(3)當n=4k﹣2(k∈N*)時,積為;當n=4k(k∈N*)時,積為.
【解析】
(1)先由條件求出知,又有c=a+2d代入即可得|qn+2|>1,就可證明結論;
(2)先求出b=1+d,c=1+2d,然后對插入的數(shù)分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可;
(3)先由條件求得|q|s+1>|q|t+1s>t.然后再對q所存在的可為正數(shù),也可為負數(shù)兩種情況分別求出插入的n個數(shù)的乘積即可.
(1)由題意知,c=a+2d,
又a>0,d>0,可得,
即|qn+2|>1,故|q|n+2>1,又n+2是正數(shù),故|q|>1.
(2)由a,b,c是首項為1、公差為d的等差數(shù)列,故b=1+d,c=1+2d,
若插入的這一個數(shù)位于a,b之間,則1+d=q2,1+2d=q3,
消去q可得(1+2d)2=(1+d)3,即d3﹣d2﹣d=0,其正根為.
若插入的這一個數(shù)位于b,c之間,則1+d=q,1+2d=q3,
消去q可得1+2d=(1+d)3,即d3+3d2+d=0,此方程無正根.
故所求公差.
(3)由題意得,,又a>0,d>0,
故,可得,又,
故qs+1>qt+1>0,即|q|s+1>|q|t+1.
又|q|>1,故有s+1>t
設n+3個數(shù)所構成的等比數(shù)列為an,則,
由akan+4﹣k=a1an+3=ac(k=2,3,4,n+2),
可得(a2a3an+2)2=(a2an+2)(a3an+1)(an+1a3)(an+2a2)=(ac)n+1,
又,,
由s,t都為奇數(shù),則q既可為正數(shù),也可為負數(shù),
①若q為正數(shù),則a2a3an+2,插入n個數(shù)的乘積為;
②若q為負數(shù),a2,a3,an+2中共有個負數(shù),
故a2a3,所插入的數(shù)的乘積為.
所以當n=4k﹣2(k∈N*)時,所插入n個數(shù)的積為;
當n=4k(k∈N*)時,所插入n個數(shù)的積為.
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知asinB=bsin2A.
(1)求角A;
(2)若a=5,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
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【題目】波羅尼斯(古希臘數(shù)學家,約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(且)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有,,則當的面積最大時,AC邊上的高為_______________.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于M,N兩點.
(1)若點P的極坐標為(2,π),求|PM||PN|的值;
(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值.
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【題目】已知數(shù)列中,,前n項和為,且.
(1)求;
(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并寫出其通項公式;
(3)設,試問是否存在正整數(shù)p,q(其中),使成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,直線與y軸交于點A,與拋物線交于P,Q,點B與點A關于x軸對稱,連接QB,BP并延長分別與x軸交于點M,N.
(1)若,求拋物線C的方程;
(2)若,求外接圓的方程.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實數(shù)的值.
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