Question

10．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為：sinθ-2cosθ=0，直線l與圓C相交于A，B兩點，且|OA|＜|OB|．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）求$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1可把圓C的參數(shù)方程化為普通方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可把直線l極坐標方程化為直角坐標方程．
（2）過圓心C作CD⊥AB，垂足為D．可得點D到直線l的距離d，|OD|=$\sqrt{O{C}^{2}-4nsgeb5^{2}}$，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-k5xa4d9^{2}}$，于是|OA|=|OD|-$\frac{1}{2}$|AB|，即可得出．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得：（x-2）²+（y-2）²=1，圓心C（2，2），半徑r=1．
直線l的極坐標方程為：sinθ-2cosθ=0，即ρsinθ-2ρcosθ=0，可得直線l的直角坐標方程：y=2x．
（2）過圓心C作CD⊥AB，垂足為D．
點D到直線l的距離d=$\frac{|2×2-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
則|OD|=$\sqrt{O{C}^{2}-b3k5wky^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-\frac{4}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-w4trjwk^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|OA|=|OD|-$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程的方法、圓的參數(shù)方程、垂經(jīng)定理、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．