Question

某廠2014年初用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)，該生產(chǎn)設(shè)備第一年維修保養(yǎng)費(fèi)用4萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加2萬(wàn)元，該生產(chǎn)設(shè)備使用后，每年的年收入為23萬(wàn)元，該生產(chǎn)設(shè)備使用戈年后的總盈利額為y萬(wàn)元．問(wèn)：
（I）從第幾年開(kāi)始，該廠開(kāi)始盈利（總盈利額為正值）；
（Ⅱ）到哪一年，年平均盈利額能達(dá)到最大值？此時(shí)工廠共獲利多少萬(wàn)元？
（前x年的總盈利額=前x年的總收入一前x年的總維修保養(yǎng)費(fèi)用一購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的費(fèi)用）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意先寫(xiě)出y=23x-[4x+

x(x-1)

2

×2]-36=-x²+20x-36（x∈N^*）；
（1）解不等式-x²+20x-36＞0即可；
（2）化簡(jiǎn)

y

x

=20-（x+

36

x

），再利用基本不等式求最值即可．

解答： 解：前x年每年的維修保養(yǎng)費(fèi)用構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，
∴前x年的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為[4x+

x(x-1)

2

×2]萬(wàn)元；
∴y=23x-[4x+

x(x-1)

2

×2]-36=-x²+20x-36（x∈N^*）；
（I）解不等式-x²+20x-36＞0得，2＜x＜18；
故從第3年開(kāi)始，該廠開(kāi)始盈利；
（Ⅱ）∵

y

x

=20-（x+

36

x

）≤20-12=8；
（當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，等號(hào)成立）；
∴到2019年，年平均盈利額能達(dá)到最大值，此時(shí)工廠共獲利48萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．