Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{n}^{2}（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{{a}_{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，T_n為{b_n}的前n項和，求T_2n．

Answer 1

分析 （I）等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．可得a₃=a₄-2a₂，a₂q=a₂（q²-2），解得q．進而得出a₁，可得a_n．
（II）n為奇數(shù)時，b_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{n}^{2}（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．n為偶數(shù)時，b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．分組求和，利用“裂項求和”方法可得奇數(shù)項之和；利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得偶數(shù)項之和．

解答 解：（I）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．
∴a₃=a₄-2a₂，可得a₂q=a₂（q²-2），
∴q²-q-2=0，解得q=2．∴a₁+a₂=2a₂-2，即a₁=a₂-2=2a₁-2，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）n為奇數(shù)時，b_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{n}^{2}（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
n為偶數(shù)時，b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴T_2n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$
=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$．
設(shè)A=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$，
則$\frac{1}{{2}^{2}}$A=$\frac{2}{{2}^{4}}+\frac{4}{{2}^{6}}$+…+$\frac{2n-2}{{2}^{2n}}$+$\frac{2n}{{2}^{2n+2}}$，
∴$\frac{3}{4}$A=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2n}}$-$\frac{2n}{{2}^{2n+2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2n}{{2}^{2n+2}}$，
∴A=$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．
∴T_2n=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、分類討論方法、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．