Question

16．在△ABC中，已知$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=8，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=3，D為線段AB上的一點，且$\overrightarrow{CD}$=m•$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}$+n•$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}$，則mn的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，利用三角恒等變換求出C=$\frac{π}{2}$，再利用邊角關系以及向量的數(shù)量積求出a、b和c的值；通過建立坐標系，利用平面向量的坐標表示，結(jié)合基本不等式，即可求出mn的最大值．

解答 解：△ABC中，sinB=cosA•sinC=sin（A+C），
∴cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，
∵A，C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{2}$；
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=8，∴ca•cosB=8，∴a²=8，解得a=2$\sqrt{2}$；
又∵S_△ABC=3，∴$\frac{1}{2}$ab=3，且a=2$\sqrt{2}$，∴b=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
∴c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
建立坐標系如圖所示：

∴點B（2$\sqrt{2}$，0），A（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），
∴直線AB的方程是$\frac{x}{2\sqrt{2}}$+$\frac{y}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=1，
∵$\overrightarrow{CD}$=m•$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}$+n•$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}$=m（0，1）+n（1，0）=（n，m），點D（n，m）為線段AB上的一點，
∴$\frac{n}{2\sqrt{2}}$+$\frac{m}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=1，
化簡得4m+3n=6$\sqrt{2}$；
4m+3n≥2$\sqrt{4m•3n}$，當且僅當4m=3n=3$\sqrt{2}$時“=”成立；
∴12mn≤${（\frac{4m+3n}{2}）}^{2}$=${（\frac{6\sqrt{2}}{2}）}^{2}$=18，
即mn≤$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計算公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．