Question

15．已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥1的解集A滿足[-1，1]⊆A．
（1）求實數(shù)m的取值范圍B；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），m₀為B中的最小元素且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m₀，求證：a+2b+3c≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）因為f（x）=m-|x-2|，所以f（x+2）≥1等價于|x|≤m-1，解此不等式，結合[-1，1]⊆A知A是非空集合，得到端點的不等式得到m范圍；
（2）由（1）知m₀=2，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=2$，即$\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}）=1$，利用乘1法，將要證不等式左邊變形為滿足基本不等式的形式．

解答 解：（1）因為f（x）=m-|x-2|，所以f（x+2）≥1等價于|x|≤m-1，
由[-1，1]⊆A知A是非空集合，所以 1-m≤x≤m-1，
結合[-1，1]⊆A可得m-1≥1⇒m≥2，
即實數(shù)m的取值范圍是B=[2，+∞）．
（2）由（1）知m₀=2，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=2$，
∴$a+2b+3c=\frac{1}{2}（{a+2b+3c}）（{\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}}）$$≥\frac{1}{2}{（{\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}}}）^2}=\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法以及利用乘1法，結合基本不等式證明不等式；屬于中檔題．