Question

3．已知三棱錐P-ABC的頂點都在同一個球面上（球O），且PA=2，PB=PC=$\sqrt{6}$，當(dāng)三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大時，該三棱錐的體積與球O的體積的比值是$\frac{3}{16π}$．

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的體積、三棱錐的體積，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大，
三棱錐P-ABC的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長：$\sqrt{4+6+6}$=4
所以球的直徑是4，半徑為2，
所以三棱錐的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\sqrt{6}$=2，球的體積：$\frac{4}{3}$π×8=$\frac{32}{3}$π，
所以該三棱錐的體積與球O的體積的比值是$\frac{3}{16π}$．
故答案為：$\frac{3}{16π}$．

點評 本題考查球的體積、三棱錐的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，是中檔題．