Question

已知f（x）=

x

x2+1

在[-3，3]，判斷并證明奇偶性，單調(diào)性和最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f（-x），即可得到奇偶性；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0、小于0，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間，注意定義域；討論x=0，x＞0，x＜0，運(yùn)用基本不等式，即可得到最值．

解答： 解：f（x）為奇函數(shù)，理由：f（x）的定義域?yàn)閇-3，3]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=-

x

1+x2

=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
由f′（x）＞0，解得1-x²＞0，即x²＜1，解得-1＜x＜1，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，1）單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得1-x²＜0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，
此時(shí)函數(shù)在（1，3），（-3，-1）單調(diào)遞減．
又x²+1＞0在[-3，3]上恒成立，
若x=0，則f（x）=0，
若x≠0時(shí)，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
若x＞0，x+

1

x

≥2，此時(shí)0＜f（x）≤

1

2

，
若x＜0，則x+

1

x

≤-2

(-x)• 1 -x

=-2，此時(shí)-

1

2

≤f（x）＜0，
綜上-

1

2

≤f（x）≤

1

2

，即函數(shù)的最大值為

1

2

，最小值為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握分式函數(shù)定義域，值域，單調(diào)性的求法．