Question

14．為了研究某種微生物的生長規(guī)律，需要了解環(huán)境溫度x（°C）對該微生物的活性指標y的影響，某實驗小組設計了一組實驗，并得到如表的實驗數據：

環(huán)境溫度x（°C）	1	2	3	4	5	6	7
活性指標y	28	27	26	24	25	23	22

（Ⅰ）由表中數據判斷y關于x的關系較符合$\widehaty=\widehatbx+\widehata$還是$\widehaty={2^{\widehatbx+\widehata}}$，并求y關于x的回歸方程（$\widehata$，$\widehatb$取整數）；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的結果分析：若要求該種微生物的活性指標不能低于2^6.3，則環(huán)境溫度應不得高于多少°C？
附：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題中表格易知y關于x呈非線性關系，應選$\widehaty={2^{\widehatbx+\widehata}}$；設z=log₂y，則z關于x呈線性關系，求出z關于x的線性回歸方程，再寫出y關于x的回歸方程；
（Ⅱ）利用回歸方程，列出不等式2^-x+9≥2^6.3，求出x的取值范圍即得．

解答 解：（Ⅰ）由題中表格易知y關于x呈非線性關系，故應選擇$\widehaty={2^{\widehatbx+\widehata}}$；
設z=log₂y，則題中的表格可以化為

x	1	2	3	4	5	6	7
z	8	7	6	5	4	3	2

顯然z關于x呈線性關系，
∵$\overline x=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4$，
$\overline z=\frac{8+7+6+5+4+3+2}{7}=5$，
$\sum_{i=1}^7{{x_i}{z_i}}=113$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}=140$，
∴$\widehatb=\frac{113-7×4×5}{{140-7×{4^2}}}=\frac{-27}{28}≈-1$，
$\widehata=5-（-1）×4=9$，
∴z關于x的線性回歸方程為$\widehatz=-x+9$，
∴y關于x的回歸方程為$\widehaty={2^{-x+9}}$；
（Ⅱ）∵2^-x+9≥2^6.3，∴-x+9≥6.3，
解得x≤2.7，故環(huán)境溫度不能高于2.7°C．

點評 本題主要考查了線性回歸方程的應用問題，準確的計算是解題的關鍵，屬于中檔題．