Question

已知f（x）=alnx+x²
（1）討論f（x）的單調性，
（2）當a＞0時，若對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)f′（x），分a≥0，a＜0兩種情況進行討論，在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由（1）知a＞0時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，不妨設x₁＜x₂，則不等式可化為可化為f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，令g（x）=f（x）-3x，可知g（x）在（0，+∞）上單調遞增，從而有g′（x）≥0恒成立，分離參數(shù)a后化為函數(shù)的最值即可；

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

+2x=

a+2x2

x

，
當a≥0時，f′（x）≥0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，令f′（x）＞0得：x＞

- a 2

，f′（x）＜0得：0＜x＜

- a 2

，
此時f（x）的遞增區(qū)間為（

- a 2

，+∞)），f（x）的遞減區(qū)間為(0，

- a 2

)；
（2）由（1）知a＞0時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
不妨設x₁＜x₂，則|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|可化為f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，則g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
g′（x）=f′（x）-3=

a+2x2

x

-3=

a+2x2-3x

x

≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥-2x²+3x=-2(x-

3

4

)2+

9

8

，
∴a≥

9

8

．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想，屬中檔題．