【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當時， .

(1) 求曲線在點處的切線方程；

(2) 若關于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)是偶函數(shù)，當時， ，可得當時， ， ，求出可得切線斜率，求出,可得切點坐標，由點斜式可得切線方程；（2）令，則原命題等價于， 恒成立， 即恒成立，設，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出的最大值為，從而可得實數(shù)的取值范圍為.

試題解析：因為為偶函數(shù)，所以，

當時，則，故 ，所以，

從而得到， ，

（1）當時， ，所以

所以在點的切線方程為： ，即

（2）關于的不等式恒成立，即 恒成立

令，則原命題等價于， 恒成立，

即恒成立，

記， ，

當時， ，則遞增；當時， ，則遞減；

所以，當時， 取極大值，也是最大值，

所以，

即實數(shù)a的范圍為 .

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值、不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax－ (a>0)的圖象與直線y＝b相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列．

(1)求a，b的值；

(2)若x0∈，且x0是y＝f(x)的零點，試寫出函數(shù)y＝f(x)在上的單調增區(qū)間．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的下頂點為，點是橢圓上異于點的動點，直線分別與軸交于點，且點是線段的中點．當點運動到點處時，點的坐標為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線交軸于點，當點均在軸右側，且時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有下列四個命題：

①AF⊥GC；

②BD與GC成異面直線且夾角為60；

③BD∥MN；

④BG與平面ABCD所成的角為45.

其中正確的個數(shù)是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.

（1）求證: ；

（2）在上是否存在點，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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【題目】如圖,在斜三棱柱中,底面為正三角形,面⊥面, ,

.

(1)求異面直線與所成角的余弦值;

(2)設為的中點,求面與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1， 在直角梯形中， ， ， ， 為線段的中點. 將沿折起，使平面 平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證: 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≤0.5，確定n的最小值；

(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？

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【題目】近年來我國電子商務行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇，2017年雙11全天交易額達到1682億元，為規(guī)范和評估該行業(yè)的情況，相關管理部門制定出針對電商的商品和服務的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行評價，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次.

（1）完成關于商品和服務評價的列聯(lián)表，判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全為好評的次數(shù)為隨機變量：

①求對商品和服務全為好評的次數(shù)的分布列；

②求的數(shù)學期望和方差.

附：臨界值表：

的觀測值： （其中）

關于商品和服務評價的列聯(lián)表：

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