7.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足:(a+c)(sinA-sinC)=sinB(a-b)
(I)求角C的大;
(II)若c=2,求a+b的取值范圍.

分析 (I)利用正弦正理化簡已知等式可得:a2+b2-c2=ab,由余弦定理可得求得cosA=$\frac{1}{2}$,結合A的范圍,即可求得A的值.
(II)由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b,由內角和定理求出A與B的關系式,代入a+b利用兩角和與差的正弦公式化簡,根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質得出a+b的取值范圍.

解答 (本題滿分為12分)
解:(I)在△ABC中,∵(a+c)(sinA-sinC)=sinB(a-b),
∴由正弦定理可得:(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,…(3分)
∴cosC=$\frac{1}{2}$,
∴由C為三角形內角,C=$\frac{π}{3}$.…(6分)
(II)  由(I)可知2R=$\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,…(7分)
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$(sinA+sinB)=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin(A+$\frac{π}{3}$)]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$($\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA)=4sin(A+$\frac{π}{6}$).…(10分)
∵0$<A<\frac{2π}{3}$,
∴$\frac{π}{6}$<A+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,
∴$\frac{1}{2}$<sin(A+$\frac{π}{6}$)≤1,
∴2<4sin(A+$\frac{π}{6}$)≤4
∴a+b的取值范圍為(2,4].…(12分)

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理的綜合應用,考查了兩角和差的正弦函數(shù)公式,解題時注意分析角的范圍,屬于中檔題.

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