Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：（a+c）（sinA-sinC）=sinB（a-b）
（I）求角C的大��；
（II）若c=2，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用正弦正理化簡已知等式可得：a²+b²-c²=ab，由余弦定理可得求得cosA=$\frac{1}{2}$，結合A的范圍，即可求得A的值．
（II）由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由內角和定理求出A與B的關系式，代入a+b利用兩角和與差的正弦公式化簡，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質得出a+b的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）在△ABC中，∵（a+c）（sinA-sinC）=sinB（a-b），
∴由正弦定理可得：（a+c）（a-c）=b（a-b），即a²+b²-c²=ab，…（3分）
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由C為三角形內角，C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（II）  由（I）可知2R=$\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…（7分）
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（A+$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．…（10分）
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴2＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4
∴a+b的取值范圍為（2，4]．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的綜合應用，考查了兩角和差的正弦函數(shù)公式，解題時注意分析角的范圍，屬于中檔題．