Question

12．已知函數(shù)y=2tan（3x-$\frac{π}{4}$），試求函數(shù)的定義域、值域、最小正周期、單調區(qū)間并判斷函數(shù)的奇偶性．

Answer 1

分析 根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質進行求解即可．

解答 解：令3x-$\frac{π}{4}$=z，已知函數(shù)化為y=2tanz，
由于函數(shù)y=2tanz對不等于z≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）的實數(shù)z都有意義，且值域是R，
∴原函數(shù)的定義域是{x丨3x-$\frac{π}{4}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z）}，
即{x丨x≠$\frac{k}{3}π$+$\frac{π}{4}$，（k∈Z）}，值域是R；
又由，2tan（3x-$\frac{π}{4}$+π）=2tan（3x-$\frac{π}{4}$）=2tan[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]．
設y=f（x），上式即是f（x+$\frac{π}{3}$）=f（x）對定義域內的任意x都成立，
由周期函數(shù)的定義可知：y=2tan（3x-$\frac{π}{4}$）的最小正周期$\frac{π}{3}$，
∴當-$\frac{π}{2}$+kπ＜3x-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z），時，函數(shù)y=f（x）單調遞增，
即函數(shù)的單調增區(qū)間是（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{3}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{3}$），（k∈Z），
∵f（-x）≠f（x），f（-x）≠-f（x），
∴函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的性質，根據(jù)正切函數(shù)的定義域以及周期，單調性及奇偶性的性質是解決本題的關鍵．屬于基礎題．