Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，動點Q到點F（1，0）的距離比點Q到y(tǒng)軸的距離大1
（1）求動點Q的軌跡C的方程．
（2）過點F的直線l交C于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（$\frac{2}{3}$＜λ＜2），點M（-1，0），求|MA|²+|MB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動點Q的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)動點Q到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，建立方程，化簡可得點Q的軌跡C的方程；
（2）寫出直線l的方程，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0，0≤m²＜$\frac{1}{8}$，用m表示出|MA|²+|MB|²即可求得答案．

解答 解：（1）設(shè)動點Q的坐標(biāo)為（x，y），
由題意，動點Q到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，
得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1，化簡得y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）．
∴動點Q的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（2）由題意可知，過點F的直線l交拋物線y²=4x于A，B兩點，
如圖，F(xiàn)（1，0），設(shè)l：x=my+1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （ y₁y₂≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，①
且x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
又$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（$\frac{2}{3}$＜λ＜2），則（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，
代入①得$（1-λ）{y}_{2}=4m，-λ{(lán){y}_{2}}^{2}=-4$，消去y₂得4m²=λ+$\frac{1}{λ}$-2，
∵$\frac{2}{3}$＜λ＜2，∴2≤λ+$\frac{1}{λ}$＜$\frac{5}{2}$，則0≤m²＜$\frac{1}{8}$，
由M（-1，0），則$\overrightarrow{MA}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+1，y₂），
則|MA|²+|MB|²=$（{x}_{1}+1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+2+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=$（m{y}_{1}+1）^{2}+（m{y}_{2}+1）^{2}+2（m{y}_{1}+m{y}_{2}+2）$$+2+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$（{m}^{2}+1）（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）+4m（{y}_{1}+{y}_{2}）+8$
=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16．
而當(dāng)0≤m²＜$\frac{1}{8}$時，16≤16m⁴+40m²+16＜$\frac{85}{4}$，
∴16≤|MA|²+|MB|²$＜\frac{85}{4}$，
故|MA|²+|MB|²的取值范圍是[16，$\frac{85}{4}$）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量法在求解問題中的應(yīng)用，考查計算能力，難度較大．