Question

7．S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，S₇=28．記b_n=[lga_n]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b₁，b₁₁，b₁₀₁；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前1 000項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得數(shù)列{a_n}的公差，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得求b₁，b₁₁，b₁₀₁；
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{0}&{1≤n＜10}\\{1}&{10≤n＜100}\\{2}&{100≤n＜1000}\\{3}&{n=1000}\end{array}\right.$，數(shù)列{b_n}的前1000項(xiàng)和1×90+2×900+3×1=1893．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$×d=28，則d=1，
∴a_n=n，
∴b₁=[lg1]=0，b₁₁=[lg11]=1，b₁₀₁=[lg101]=2；
（Ⅱ）由題意可知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{0}&{1≤n＜10}\\{1}&{10≤n＜100}\\{2}&{100≤n＜1000}\\{3}&{n=1000}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{b_n}的前1000項(xiàng)和1×90+2×900+3×1=1893．
數(shù)列{b_n}的前1000項(xiàng)和1893．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．