Question

15．已知（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ） 求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（ III）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式展開得前三項(xiàng)，系數(shù)和為22，即可求出n．
（Ⅱ）利用通項(xiàng)公式求解展開式中的常數(shù)項(xiàng)即可．
（ III）利用通項(xiàng)公式求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：由題意，（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．
（Ⅰ）二項(xiàng)式定理展開：前三項(xiàng)系數(shù)為：${C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}$=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$=22，
解得：n=6或n=-7（舍去）．
即n的值為6．
（Ⅱ）由通項(xiàng)公式${T_{k+1}}=C_6^k{（{2x}）^{6-k}}{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^k}=C_6^k{2^{6-k}}{x^{6-\frac{3k}{2}}}$，
令$6-\frac{3k}{2}=0$，
可得：k=4．
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為${T_{4+1}}=C_6^4{2^{6-4}}{x^{6-\frac{12}{2}}}$=60；
（ III）∵n是偶數(shù)，展開式共有7項(xiàng)．則第四項(xiàng)最大
∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為${T_{3+1}}=C_6^3{2^{6-3}}{x^{6-\frac{9}{2}}}$=160${x}^{\frac{3}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．