Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，當x=1時，有極大值3；
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）若點P是函數(shù)圖象上的一點，橫坐標為-1，求過P點的切線方程．

Answer 1

解：（I）y′=3ax²+2bx，當x=1時，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即
（II）：由（I）得：
f（x）=-6x³+9x²
∴P點的坐標為P（-1，15）
∵f′（x）=-18x²+18x，
設切點坐標為（t，-6t³+9t²），切線斜率為：f′（t）=-18t²+18t
則切線方程為y-（-6t³+9t²）=（-18t²+18t）（x-t），
∵切線過點P（-1，15），
∴15-（-6t³+9t²）=（-18t²+18t）（x+1），
化簡得t³-3t²=0，∴t=0或t=3．
∴切線的方程：3x+y=0或24x-y-54=0．
分析：（I）求出y′，由x=1時，函數(shù)有極大值3，所以代入y和y′=0中得到兩個關于a、b的方程，求出a、b即可；
（II）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先設切點坐標為（t，t³-3t），利用導數(shù)求出在x=t處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力．本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．