Question

17．如圖，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，二面角A-C₁C-B的大小為$\frac{π}{3}$，點(diǎn)D線段BC的中點(diǎn)．
（1）若AB=AC，求證：平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時(shí)，求直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）若AB=AC，證明：AD⊥平面BB₁C₁C，即可證明平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時(shí)，體積最大，利用等體積方法求出A₁到平面AB₁D的距離，即可求直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值．

解答 （1）證明：由題意，∠ACB=$\frac{π}{3}$，AB=AC，
∴△ABC為正三角形，∴AD⊥BC，AD⊥CC₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵AD?平面AB₁D，
∴平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）解：當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時(shí)，體積最大，
∵4=AB²=$A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BC•\frac{1}{2}$≥AC•BC-AC•BC=AC•BC，
∴當(dāng)AC=BC，三角形ABC為正三角形時(shí)面積取最大值，
設(shè)A₁到平面AB₁D的距離為d，則由等體積可得$\frac{1}{3}{S}_{△A{B}_{1}D}•d=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AD•D{B}_{1}•d=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴sinθ=$\fracno7sjix{{A}_{1}D}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的證明，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．