Question

5．已知F₁，F₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，G是雙曲線C上一點，且滿足|GF₁|-7|GF₂|=0，則C經過第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． （$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 設G點的橫坐標為x₀，注意到x₀≥a．由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，利用|GF₁|-7|GF₂|=0，可得a+ex₀=7（ex₀-a），x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，由此即可得出結論．

解答 解：設G點的橫坐標為x₀，注意到x₀≥a．
由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，
∵|GF₁|-7|GF₂|=0，
∴a+ex₀=7（ex₀-a），
∴x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，
∴1＜e≤$\frac{4}{3}$，
∴0＜$\frac{a}$≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴C經過第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]．
故選A．

點評 本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合運用所學知識解決問題能力．