Question

已知函數f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），a∈R
（1）討論函數f（x）在其定義域上的單調性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，-

1

2

]上的零點的個數．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,對數的運算性質,根的存在性及根的個數判斷

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數f（x）的定義域（-∞，0），再求導f′（x），從而討論函數的單調性；
（2）討論a的取值，從而利用函數的單調性及函數零點的判定定理求解零點的個數．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），
∴-x＞0，即x＜0，
∴f（x）的定義域為（-∞，0）；
對f（x）求導，得f′（x）=

2a2+1

-x

•（-1）+2a=

2a2+1

x

+2a，
①當a≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數；
②當a＞0時，f′（x）=

2a2+1

x

+2a=

2ax+2a2+1

x

，
∴當x∈（-∞，-

2a2+1

2a

）時，f′（x）＞0，
x∈（-

2a2+1

2a

，0）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-

2a2+1

2a

）上是單調增函數，在（-

2a2+1

2a

，0）上單調減函數；
（2）①當a=0時，f（x）=ln（-x），
令ln（-x）=0，解得x=-1，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個零點；
②當a＞0時，
∵

2a2+1

2a

-1=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

2a

＞0，
∴[-1，-

1

2

]⊆（-

2a2+1

2a

，0），
即f（x）在[-1，-

1

2

]上是單調減函數，
又∵f（-1）=-3a＜0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上沒有零點；
③當a＜0時，f（x）在[-1，-

1

2

]上單調遞減，
又∵f（-1）=-3a＞0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個零點；
綜上，a≤0時，f（x）在[-1，-

1

2

]有一個零點，
a＞0時，f（x）在[-1，-

1

2

]上無零點．

點評：本題考查了求函數的定義域以及利用導數判斷函數的單調性與零點的應用問題，是綜合性題目．