Question

3．若△OAB的垂心恰是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，其中O是原點(diǎn)，A，B在拋物線上，則△OAB的面積S=10$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)焦點(diǎn)為F（1，0），求出拋物線的方程，利用對稱性，及AF⊥OB，向量乘積為-1，解得a（不妨取正值），即可計(jì)算面積．

解答 解：因?yàn)榻裹c(diǎn)為F（1，0），所以拋物線的方程是y²=4x．
設(shè)A（a²，2a），B（b²，2b），由拋物線的對稱性可知，b=-a．
又因?yàn)锳F⊥OB，得 $\frac{2a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{2b}{^{2}}$=-1，解得a=$\sqrt{5}$（不妨取正值），
從而可得△OAB面積是 $\frac{1}{2}$×5×4 $\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．
故答案為：10$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．