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15.已知函數f(x)=3sinωxcosωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π,且$f(θ)=\frac{1}{2}$,則$f({θ+\frac{π}{2}})$=(  )
A.$-\frac{5}{2}$B.$-\frac{9}{2}$C.$-\frac{11}{2}$D.$-\frac{13}{2}$

分析 化函數f(x)為正弦型函數,寫出f(x)的最小正周期,求得ω的值;
寫出f(x),利用$f(θ)=\frac{1}{2}$計算$f({θ+\frac{π}{2}})$的值.

解答 解:函數f(x)=3sinωxcosωx-4cos2ωx
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-2(1+cos2ωx)
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-2cosωx-2
=$\frac{5}{2}$sin(2ωx-α)-2,其中tanα=-$\frac{4}{3}$;
∴f(x)的最小正周期為T=$\frac{2π}{2ω}$=π,解得ω=1;
∴f(x)=$\frac{5}{2}$sin(2x-α)-2;
又$f(θ)=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{5}{2}$sin(2θ-α)-2=$\frac{1}{2}$,
∴sin(2θ-α)=1;
∴$f({θ+\frac{π}{2}})$=$\frac{5}{2}$sin[2(θ+$\frac{π}{2}$)-α]-2
=$\frac{5}{2}$sin(2θ+π-α)-2
=-$\frac{5}{2}$sin(2θ-α)-2
=-$\frac{5}{2}$×1-2=-$\frac{9}{2}$.
故選:B.

點評 本題考查了三角函數的化簡與運算問題,也考查了三角函數的圖象與性質的應用問題,是中檔題.

練習冊系列答案
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