Question

20．△ABC中，A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且邊BC上的高為$\frac{a}{4}$，則$\frac{c}+\frac{c}$的取值范圍為[2，$2\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由三角形面積公式推導出a²=4bcsinA，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，利用均值定理得$\frac{c}+\frac{c}≥2$；又$\frac{c}+\frac{c}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}+{a^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{bc}+\frac{a^2}{bc}$=2cosA+4sinA=2$\sqrt{5}$sin（A+α），由此能求出$\frac{c}+\frac{c}$的取值范圍．

解答 解：∵△ABC中，A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且邊BC上的高為$\frac{a}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}a•\frac{a}{4}=\frac{1}{2}bcsinA$，∴a²=4bcsinA，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA．
$\frac{c}+\frac{c}≥2$，當且僅當$b=c=\frac{{\sqrt{5}}}{4}a$時，等號成立，
$\frac{c}+\frac{c}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}+{a^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{bc}+\frac{a^2}{bc}$
=2cosA+4sinA=2$\sqrt{5}$sin（A+α），tan$α=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}+\frac{c}$∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
綜上，$\frac{c}+\frac{c}$的取值范圍為[2，$2\sqrt{5}$]．
故答案為：[2，2$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查三角形的邊長構(gòu)成的代數(shù)式的取值范圍的求法，考查三角函數(shù)恒等式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．