【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在原點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值；

（3）證明：．

【答案】（1）（2）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)最大值是（3）詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率k＝f'（0）＝0，據(jù)此分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，據(jù)此分析可得函數(shù)的最大值；

（3）根據(jù)題意，由（2）的結(jié)論可得ln（x+1）≤x2+x，分別令x＝1、、，可得ln2，lnln3﹣ln2，lnln4﹣ln3；將這些式子相加即可得的答案．

（1）所求切線的斜率

從而曲線在原點處的切線方程為

（2）

由得；由得

的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)最大值是

（3）由（2）可知：僅當時取等號別取得

以上不等式兩邊相加即得所證不等式

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為弘揚優(yōu)良傳統(tǒng)，展示80年來的辦學(xué)成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動�，F(xiàn)在需要招募活動開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節(jié)目主持人，現(xiàn)按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示.

（1）請補充頻率分布表中空白位置相應(yīng)數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；

（2）為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺，求第3、4、5組每組各抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦，求第3組至少有一人被抽取的概率？

參考公式：

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分

布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在）。

（1）求居民月收入在的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，定點，則的外接圓的面積為_____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”中最重要的一種。在其第七章中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”意思是植物蒲發(fā)芽的第一天長高三尺，植物莞發(fā)芽的第一天長高一尺。蒲從第二天開始每天生長速度是前一天的一半，莞從第二天開始每天生長速度為前一天的兩倍。問這兩種植物在何時高度相同？

在此問題中，蒲和莞高度相同的時刻在( )

A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市公交公司為了鼓勵廣大市民綠色出行,計劃在某個地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車的間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,經(jīng)過抽樣調(diào)查五個不同時段的情形,統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù):

間隔時間(分鐘)

8

10

12

14

16

等候人數(shù)(人)

16

19

23

26

29

調(diào)查小組先從這5組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程,再用剩下的1組數(shù)據(jù)進行檢驗,檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.

(1)若選取的是前4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷所求方程是否是“理想回歸方程”;

(2)為了使等候的乘客不超過38人,試用所求方程估計間隔時間最多可以設(shè)為多少分鐘?

參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式:

,.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1， ，其中n∈N*．

（1）設(shè)，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式．

（2）設(shè)，數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得對于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）寫出直線與曲線的直角坐標方程：

（Ⅱ）過點平行于直線的直線與曲線交于、兩點，若，求點軌跡的直角坐標方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中華民族是一個傳統(tǒng)文化豐富多彩的民族，各民族有許多優(yōu)良的傳統(tǒng)習俗，如過大年吃餃子，元宵節(jié)吃湯圓，端午節(jié)吃粽子，中秋節(jié)吃月餅等等，讓人們感受到濃濃的節(jié)目味道. 某小區(qū)有1200戶家庭，全部居民在小區(qū)的8棟樓內(nèi)，各家庭在過年時各自包有肉餡餃子、蛋餡餃子和素餡餃子三種味道的餃子（假設(shè)每個家庭包有且只包有這三種味道中的一種味道的餃子）.

（1）現(xiàn)根據(jù)餃子的不同味道用分層抽樣的方法從該小區(qū)隨機抽樣抽取戶家庭，其中有10戶家庭包的是素餡餃子，在抽取家庭中包肉餡餃子和蛋餡餃子的家庭分布在8棟樓內(nèi)的住戶數(shù)記錄為如圖所示的莖葉圖，已知肉餡餃子數(shù)的中位數(shù)為10，蛋餡餃子數(shù)的平均數(shù)為5，求該小區(qū)包肉餡餃子的戶數(shù)；

（2）現(xiàn)從包肉餡餃子的家庭中隨機抽取100個家庭調(diào)查包餃子的用肉量（單位： ）得到了如圖所示的頻率分布直方圖，若用肉量在第1小組內(nèi)的戶數(shù)為（為莖葉圖中的），試估計該小區(qū)過年時各戶用于包餃子的平均用肉量（各小組數(shù)據(jù)以組中值為代表）.

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