Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}{x^2}$-x（a≠1），已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直．
（1）求b的值；
（2）若對任意x≥1，都有g(shù)（x）＞$\frac{a}{a-1}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直斜率之積為-1，解方程可得b；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，①若a≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{a}{1-a}$≤1，②若$\frac{1}{2}$＜a＜1，則$\frac{a}{1-a}$＞1，③若a＞1，分別求出單調(diào)區(qū)間，可得最小值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）直線x+2y=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，所以f′（1）=2，------------（2分）
又f′（x）=lnx+$\frac{x}$+1，即ln1+b+1=2，所以b=1．-----------------（4分）
（2）g（x）的定義域為（0，+∞），
g′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{（1-a）x-a}{x}$（x-1）．----------------------------（5分）
①若a≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{a}{1-a}$≤1，故當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，對任意x≥1，都有g(shù)（x）＞$\frac{a}{a-1}$的充要條件為g（1）＞$\frac{a}{a-1}$，即$\frac{1-a}{2}$-1＞$\frac{a}{a-1}$，
解得a＜-$\sqrt{2}$-1或$\sqrt{2}$-1＜a≤$\frac{1}{2}$---------------------（8分）
②若$\frac{1}{2}$＜a＜1，則$\frac{a}{1-a}$＞1，故當(dāng)x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）時，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）時，g′（x）＞0．
f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上單調(diào)遞減，在（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，對任意x≥1，都有g(shù)（x）＞$\frac{a}{a-1}$的充要條件為g（x）＞$\frac{a}{a-1}$．
而g（x）=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{a2}{2（1-a）}$+$\frac{a}{a-1}$＞$\frac{a}{a-1}$在$\frac{1}{2}$＜a＜1上恒成立，
所以$\frac{1}{2}$＜a＜1-----------------------------------------------（10分）
③若a＞1，g（x）在[1，+∞）上遞減，不合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$-1）∪（$\sqrt{2}$-1，1）．--------------------（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡整理運算能力，屬于中檔題．