Question

已知等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₁、a₃是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)根，設(shè)b_n=2n•a_n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出an=2n-1．從而得到b_n=2n•a_n=n•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，a₁、a₃是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)根，
∴a₁＜a₃，q＞0，解方程x²-5x+4=0，得x₁=1，x₂=4，
∴a₁=1，a₃=4，∴q²=4，解得q=2，或q=-2（舍），
∴an=2n-1．
∴b_n=2n•a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．