Question

10．設a＞0，b＞0，若log₄（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=log₂$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，log₄（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=log₂$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，可得$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，化為：a+b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，log₄（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=log₂$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{ab}$，化為：a+b=1．
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=2+$\frac{a}+\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
故選：B．

點評 本題考查了對數(shù)運算性質、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．