Question

6．過(guò)拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)F作直線與C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則|$\frac{AB}{PF}$|=2．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程，代入拋物線的方程，由韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式求得丨AB丨，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得中點(diǎn)M坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式方程，求得直線AB垂直平分線方程，當(dāng)y=0，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得丨PF丨，即可求得|$\frac{AB}{PF}$|．

解答 解：設(shè)直線AB的方程y=k（x-2），（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，k²x²-（4k²+8）+4k²=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{8{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
則y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，
則AB的中點(diǎn)M（$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
直線AB垂直平分線方程：y-$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$），
當(dāng)y=0，解得：x=$\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
丨PF丨=$\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$-2=$\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
∴|$\frac{AB}{PF}$|=$\frac{\frac{8{k}^{2}+8}{{k}^{2}}}{\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}}$=2，
∴|$\frac{AB}{PF}$|=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，韋達(dá)定理，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．