Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l過點(diǎn)M（-1，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N．
（1）設(shè)MN的中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（2）設(shè)$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BM}$，試探究λ+μ是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)N（0，n），表示出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；
（2）直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-1，0），N（0，-$\frac{1}{t}$），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消x可得（4+3t²）y²-6ty-9=0，利用韋達(dá)定理，以及向量共線的坐標(biāo)可得λ=-1-$\frac{1}{t{y}_{1}}$，同理可得μ=-1-$\frac{1}{t{y}_{2}}$，然后化簡即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)N（0，n），則MN的中點(diǎn)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{2}$），
∴$\frac{（-\frac{1}{2}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{n}{2}）^{2}}{3}$=1，解得n=±$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
所以直線l的方程為：y=±$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$（x+1）；
（2）由題意可知，直線AB的斜率存在且不為0，可設(shè)直線方程為x=ty-1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-1，0），N（0，-$\frac{1}{t}$），
由$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BM}$，可得y₁+$\frac{1}{t}$=λ（0-y₁），
y₂+$\frac{1}{t}$=μ（0-y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消x可得（4+3t²）y²-6ty-9=0，
所以y₁+y₂=$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$．
得λ=-1-$\frac{1}{t{y}_{1}}$，同理可得μ=-1-$\frac{1}{t{y}_{2}}$，
所以λ+μ=-2-$\frac{1}{t}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$）=-2-$\frac{1}{t}$（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$）=-2-$\frac{6t}{-9}$•$\frac{1}{t}$=-$\frac{4}{3}$．
故λ+μ為定值-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程，考查學(xué)生的運(yùn)算變形能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力．