Question

11．圖1為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．

（1）圖2方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖，請?jiān)诜娇騼?nèi)畫出該幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖；
（2）求證：BE∥平面PDA．
（3）求四棱錐B-CEPD的體積．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件能作出該組合體的主視圖和側(cè)視圖．
（2）推導(dǎo)出EC∥平面PDA，BC∥平面PDA，從而平面BEC∥平面PDA，由此能證明BE∥平面PDA．
（3）推導(dǎo)出平面PDCE⊥平面ABCD，從而BC⊥平面PDCE，由此能求出四棱錐B-CEPD的體積．

解答 解：（1）該組合體的主視圖和側(cè)視圖如右圖示：-----（2分）
證明：（2）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，（3分）
同理可得BC∥平面PDA，（4分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，（6分）
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．（7分）
解：（3）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD，
∵BC⊥CD，又平面ABCD∩平面PDCE=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE，（10分）
∵S_梯形PDCE=$\frac{1}{2}（PD+EC）•DC=\frac{1}{2}×3×2$=3，（11分）
∴四棱錐B-CEPD的體積${V}_{B-CEPD}=\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC=\frac{1}{3}×3×2$=2．（12分）

點(diǎn)評 本題三視圖的作法，考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、整體思想，是中檔題．