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【題目】已知正項數列中，，點在拋物線上.數列中，點在經過點，以為方向向量的直線上.

（1）求數列，的通項公式；

（2）若，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）對任意的正整數，不等式成立，求正數的取值范圍.

【答案】（1），；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）將坐標代入拋物線方程得數列是等差數列，從而得通項公式，求出直線方程后可得；

（2）分類討論，按的奇偶性分類討論即可求解；

（3）不等式可變形為，然后設，　利用確定的單調性得其最小值，即得的取值范圍．

（1）將點代入拋物線得：

數列是等差數列.

，即

為直線的方向向量直線的斜率，直線的方程為

在直線上.

（2）由題

①當是偶數時，是奇數，即，

②當是奇數時，是偶數，即（舍去）.

故存在唯一的符合條件.

（3）由題，即

設，

則

，即數列是遞增數列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，若在處的切線為．

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設其中，證明：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，，，圓臺的側面積為.若點C，D分別為圓，上的動點且點C，D在平面的同側.

（1）求證：；

（2）若，則當三棱錐的體積取最大值時，求多面體的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線平面，垂足為，正四面體的棱長為2，，分別是直線和平面上的動點，且，則下列判斷：①點到棱中點的距離的最大值為；②正四面體在平面上的射影面積的最大值為．其中正確的說法是（ ）．

A.①②都正確B.①②都錯誤C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②正確

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，是等邊三角形，，，，，是的中點．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為正整數，各項均為正整數的數列滿足：，記數列的前項和為．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若為奇數，求證：“”的充要條件是“為奇數”．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是軸上的動點（異于原點），點在圓上，且.設線段的中點為，當點移動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）當直線與圓相切于點，且點在第一象限.

（ⅰ）求直線的斜率；

（ⅱ）直線平行，交曲線于不同的兩點、.線段的中點為，直線與曲線交于兩點、，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.設直線與的交點為，當變化時的點的軌跡為曲線.

（1）求出曲線的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設射線的極坐標方程為且，點是射線與曲線的交點，求點的極徑.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為正方形，，為等邊三角形，線段的中點為，若，則此四棱錐的外接球的表面積為______.

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