Question

2．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=ln（x²+（m-3）x+1）的定義域?yàn)镽；命題q：方程x²=mx-1有兩個(gè)不相等的正實(shí)根．若命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用f（x）=ln（x²+（m-3）x+1）的定義域?yàn)镽，即（m-3）²-4＜0即可得出p，再利用方程x²=mx-1有兩個(gè)不等的正實(shí)根得出q；由p或q為真，p且q為假，可得p與q為一真一假，進(jìn)而得出答案．

解答 解：若命題p為真，則f（x）=ln（x²+（m-3）x+1）的定義域?yàn)镽，
即（m-3）²-4＜0，解得：1＜m＜5．
若命題q為真，則方程x²=mx-1有兩個(gè)不等的正實(shí)根，
故有$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{m＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
∵p或q為真，p且q為假，
∴p與q為一真一假．
∴當(dāng)p為真q為假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜5}\\{m≤2}\end{array}\right.$，
∴1＜m≤2；
當(dāng)p為假q為真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m≤1或m≥5}\\{m＞2}\end{array}\right.$，
∴m≥5．
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，2]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握“三個(gè)二次”與判別式的關(guān)系及其“或”“且”命題的真假的判定是解題的關(guān)鍵．