Question

17．已知雙曲線$\frac{x^2}{m}$-$\frac{y^2}{n}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{4}{3}$x，則該雙曲線的離心率e為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．．

Answer 1

分析 根據(jù)焦點(diǎn)所在軸的位置，求得漸近線方程，得出m，n的比值，再利用離心率公式計(jì)算即可．

解答 解：雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{4}{3}$x，
若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，則m，n＞0，
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$x，
即有$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$=$\frac{4}{3}$，
離心率e=$\frac{\sqrt{m+n}}{\sqrt{m}}$=$\sqrt{1+\frac{n}{m}}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\frac{5}{3}$；
若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，則m，n＜0，
則$\frac{\sqrt{-n}}{\sqrt{-m}}$=$\frac{4}{3}$，
離心率e=$\frac{\sqrt{-n-m}}{\sqrt{-n}}$=$\sqrt{1+\frac{m}{n}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)：漸近線，離心率．考查計(jì)算能力．分類討論能力，屬于中檔題．