Question

7．已知函數(shù)h（x）=x²+ax+b在（0，1）上有兩個不同的零點，記min{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}m（{m≤n}）\\ n（{m＞n}）\end{array}$，則min{h（0），h（1）}的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=1+a+b＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\\{f（-\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+b＜0}\end{array}\right.$，從而作出平面區(qū)域，而min{f（0），f（1）}=$\left\{\begin{array}{l}{b，-1≤a＜0}\\{1+a+b，-2＜a＜-1}\end{array}\right.$，從而分類討論求取值范圍即可

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b在（0，1）上有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=1+a+b＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\\{f（-\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+b＜0}\end{array}\right.$，
由題意作平面區(qū)域如下，
，
∵f（0）=b，f（1）=1+a+b，
∴min{f（0），f（1）}=$\left\{\begin{array}{l}{b，-1≤a＜0}\\{1+a+b，-2＜a＜-1}\end{array}\right.$，
結(jié)合圖象可知，D（-1，$\frac{1}{4}$），
當(dāng)-1≤a＜0時，0＜b＜$\frac{1}{4}$，
當(dāng)-2＜a＜-1時，0＜1+a+b＜$\frac{1}{4}$，
綜上所述，min{f（0），f（1）}的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）；
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用．