Question

已知圓C過點P（

2

2

，

2

2

），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為圓C上的一個動點，求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運算,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），由已知得

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，由此得圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標(biāo)代入，能示出圓C的方程．
（2）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=1，且

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-3，由此利用圓的參數(shù)方程能求出

PQ

•

MQ

的最小值．
（3）由題意知直線PA與直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，由已知條件求出xA=

2

2

•

k2-2k-1

1+k2

，x_B=

2

2

•

k2+2k-1

1+k2

，從而推導(dǎo)出k_AB=k_OP，進(jìn)而得到直線OP和直線AB一定平行．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），
則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得a=0，b=0，
∴圓C的方程為x²+y²=r²，
將點P的坐標(biāo)代入，得r²=1，
故圓C的方程為x²+y²=1．
（2）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=1，
且

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-3，
∵

x=cosθ y=sinθ

，
∴

PQ

•

MQ

=cosθ+sinθ-3=

2

sin(θ+

π

4

)-3，
∴

PQ

•

MQ

的最小值為-3-

2

；
（3）由題意知直線PA與直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，
故設(shè)PA：y-

2

2

=k(x-

2

2

)，PB：y-

2

2

=-k(x-

2

2

)，
由

y- 2 2 =k(x- 2 2 ) x2+y2=1

，得(1+k2)x2+

2

k(1-k)x+

1

2

(1-k)2-1=0，
∵點P的橫坐標(biāo)為x=

2

2

一定是該方程的解，故得xA=

2

2

•

k2-2k-1

1+k2

，
同理x_B=

2

2

•

k2+2k-1

1+k2

，
∴k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB- 2 2 )-k(xA- 2 2 )

xB-xA

=

2 k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP，
∴直線OP和直線AB一定平行．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，考查直線OP和AB是否平行的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程的合理運用．