Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x³+3x²+a，其中a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=12x相切，求a的值；
（3）是否存在相異的正實數(shù)m，n，使得f（m）=12m，f（n）=12n？若存在，試確定實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=12x相切，求出切點坐標，即可求a的值；
（3）設F（x）=f（x）-12x，則題設可轉化為判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是否存在兩個零點m，n．

解答 解：（1）f'（x）=6x²+6x=6x（x+1）．                                   （1分）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=0，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增↗	極大值	單調遞減↘	極小值	單調遞增↗

故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（-1，0）．  （4分）
（2）令f'（x）=12，即6x（x+1）=12，得x=-2或x=1．                 （5分）
∴切點坐標為（-2，-24）或（1，12）．                                       （6分）
將點（-2，-24）代入f（x）=2x³+3x²+a，得a=-20；
再將點（1，12）代入f（x）=2x³+3x²+a，得a=7．                                            （7分）
故a=-20或a=7．                                                   （8分）
（3）設F（x）=f（x）-12x，
則題設可轉化為判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是否存在兩個零點m，n．（*）      （9分）
∵F（x）=f（x）-12x=2x³+3x²-12x+a，
∴F'（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1）．
令F'（x）=0，得x₁=-2，x₂=1．                                      （10分）
當0＜x＜1時，F(xiàn)'（x）＜0；當x＞1時，F(xiàn)'（x）＞0．
故x=1是F（x）的極小值點，且F（1）=a-7．                           （11分）
要使（*）成立，則必有$\left\{\begin{array}{l}F（0）＞0\\ F（1）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-7＜0\end{array}\right.$，
∴0＜a＜7，
此時F（2）=4+a＞0，
故函數(shù)F（x）的圖象與x軸的正半軸有兩個交點（m，0），（n，0）．
綜上所述，存在相異的正實數(shù)m，n，使得f（m）=12m，f（n）=12n，
此時實數(shù)a的取值范圍是{a|0＜a＜7}．                                                          （12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．