Question

5．給下列五個命題：
①若方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②函數$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函數，但不是奇函數；
③函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-3，1]；
④設函數y=f（x）的定義域為R，則函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于y軸對稱；
⑤一條曲線$y=\left\{\begin{array}{l}3-{x^2}（x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]）\\{x^2}-3（x∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞））\end{array}\right.$和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值不可能是1．
其中正確命題的序號為①⑤（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 由韋達定理，可判斷①；根據函數奇偶性的定義，可判斷②；根據左右平移變換不改變函數的值域，可判斷③；設函數y=f（x）的定義域為R，則函數y=f（-x）與y=f（x）的圖象關于y軸對稱，函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于x=1對稱，可判斷④；分析曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數，可判斷⑤

解答 解：對于①，若方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則兩根之積為負，△＞0，即a＜0，故正確；
對于②，函數$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0，x∈{-1，1}，即是偶函數也是奇函數，故錯；
對于③，函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域也為[-2，2]，故錯誤
對于④，設函數y=f（x）的定義域為R，則函數y=f（-x）與y=f（x）的圖象關于y軸對稱，函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于x=1對稱，故錯；
對于⑤，一條曲線$y=\left\{\begin{array}{l}3-{x^2}（x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]）\\{x^2}-3（x∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞））\end{array}\right.$和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值可能是2，3，4，不可能是1，故正確；
故答案為：①⑤

點評 題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了韋達定理，函數圖象的變換，函數的奇偶性，函數圖象的交點個數，難度中檔