Question

15．設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．已知：任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對(duì)稱中心，且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中心．設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}$x+1，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-7，則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，即f（x）+f（4-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}$x+1，
∴f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，
∴f′（x）=2x-4，
令f″（x）=0，解得：x=2，
而f（2）=$\frac{8}{3}$-8+$\frac{8}{3}$×2+1=1，
故函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，
∴f（x）+f（4-x）=2，
∵a_n=2n-7，
∴a₁=-5，a₈=9，
∴f（a₁）+f（a₈）=2，
同理可得f（a₂）+f（a₇）=2，f（a₃）+f（a₆）=2，f（a₄）+f（a₅）=2，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=2×4=8，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．