Question

2．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{_{n}}$=b_n+1-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式直接計(jì)算可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，通過作差可知$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}$，進(jìn)而可得b_n=n；
（Ⅱ）通過（1）可知a_nb_n=n•2ⁿ，即可利用錯(cuò)位相加法計(jì)算數(shù)列的和．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=2a_n，得：${a}_{n}={2}^{n}$；
由b₁=1，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{_{n}}$=b_n+1-1知，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=b₂-1，故b₂=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{n}_{n}=_{n+1}-_{n}$，整理得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{_{2}}{_{1}}=\frac{2}{1}$，$\frac{_{3}}{_{2}}=\frac{3}{2}$，…，$\frac{_{n}}{_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$（n≥2）．
累積可得：b_n=n，
驗(yàn)證b₁=1成立，
∴b_n=n；
（Ⅱ）由（1）知，${a}_{n}_{n}=n•{2}^{n}$，
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
$2{T}_{n}={2}^{2}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+（n-1）×{2}^{n}+n×{2}^{n+1}$，
作差可得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n×{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+1}$=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴${T}_{n}=（n-1）×{2}^{n+1}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．