Question

10．已知函數(shù) f（x）滿足f（x+1）=x²-$\frac{1}{3}$f（3）．
（1）求f（x）解析式；
（2）當(dāng)x∈（-2，-$\frac{1}{2}$）時(shí)，不等式f（a）+4a＜（a+2）f（x²）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（3），通過(guò)換元求出函數(shù)的解析式即可；（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定a的范圍即可．

解答 解：（1）令x=2，得$f（3）=4-\frac{1}{3}f（3）$，∴f（3）=3，
令x+1=t，則x=t-1，∴f（t）=（t-1）²-1=t²-2t，
∴f（x）=x²-2x．
（2）由（1）知f（a）=a²-2a，即為a²+2a＜（a+2）f（x²）．
當(dāng)a+2=0時(shí)，a²+2a＜（a+2）f（x²），即為a＜0，不合題意．
當(dāng)a+2＞0時(shí)，a²+2a＜（a+2）f（x²）可轉(zhuǎn)化為a＜f（x²）=（x²-1）²-1．
∵$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$，∴${x^2}∈（\frac{1}{4}，4）$，
∵f（x²）=（x²-1）²-1，∴當(dāng)x²=1即x=-1時(shí)，f（x²）取得最小值-1．
∴a＜-1，∵a+2＞0，∴-2＜a＜-1．
當(dāng)a+2＜0時(shí)，a²+2a＜（a+2）f（x²）可轉(zhuǎn)化為a＞f（x²）．
∵當(dāng)$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$時(shí)，f（x²）＜8，∴a≥8，又a＜-2，∴不合題意．
綜上，a的取值范圍為（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．