Question

14．若函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+b）有極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），且f（x₁）=x₁，則關(guān)于x的方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同實根的個數(shù)為3．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為方程x²+（2+a）x+a+b=0有兩個不相同的實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．

解答 解：函數(shù)f（x）有兩個不相同的極值點，
即f′（x）=e^x[x²+（2+a）x+a+b]=0有兩個不相同的實數(shù)根x₁，x₂，
也就是方程x²+（2+a）x+a+b=0有兩個不相同的實數(shù)根，
所以△=（2+a）²-4（a+b）＞0；
由于方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的判別式△′=△，
故此方程的兩個解為f（x）=x₁或f（x）=x₂．
由于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x₁的交點個數(shù)即為方程f（x）=x₁的解的個數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x₂的交點個數(shù)即為方程f（x）=x₂的解的個數(shù)．
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及f（x₁）=x₁，
可知y=f（x）的圖象和直線y=x₁的交點個數(shù)為2，
y=f（x）的圖象和直線y=x₂的交點個數(shù)為1．
所以f（x）=x₁或f（x）=x₂共有三個不同的實數(shù)根，
即關(guān)于x的方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同實根個數(shù)為3，
故答案為：3．

點評 本題難度中等偏上，是導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值點與解一元 二次方程的綜合題目，求解的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．