Question

7．在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，P，Q分別是BC，BD的中點，則向量$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{AQ}$的夾角的余弦值為$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 由平面向量基本定理把向量用基底$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$表示，由向量的夾角公式可得．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$的模長均為2，且夾角為60°，
∵P，Q分別是BC，BD的中點，由向量的知識可得：
$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$）
=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{3}{2}$×2×2×$\frac{1}{2}$+2）=$\frac{9}{2}$
|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^{2}}$=$\sqrt{7}$
同理可得|$\overrightarrow{AQ}$|=$\sqrt{3}$
∴向量$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{AQ}$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AQ}|}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$
故答案為：$\frac{3\sqrt{21}}{14}$

點評 本題考查兩向量的夾角，利用平面向量基本定理來表示向量是解決問題的關鍵，屬中檔題．