Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）將y表示為x的函數f（x），并求f（x）的對稱軸的方程；
（2）若函數y=f（x）的圖象在y軸的右側的最高點的橫坐標組成一個數列{a_n}，求a₁+a₂+…+a₂₀₁₆的值．

Answer 1

考點：數列的求和,平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，可得f（x）=2cos2x+2

3

sinxcosx=2sin(2x+

π

6

)+1，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得即可；
（2）由（1）可得：f（x）的對稱軸的方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．可得a_n=

2(n-1)π

2

+

π

6

=(n-1)π+

π

6

（n∈N^*）．利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(2cosx+2

3

sinx)cosx-y=0，
∴f（x）=2cos2x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的對稱軸的方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
（2）由（1）可得：f（x）的對稱軸的方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
∴a₁=

π

6

，a₂=

2π

2

+

π

6

，
…，
∴a_n=

2(n-1)π

2

+

π

6

=(n-1)π+

π

6

（n∈N^*）．
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₆=

2016( π 6 +2015π+ π 6 )

2

=4056866π．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質、向量垂直與數量積的關系、兩角和差的正弦公式、等差數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．