Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}+2n$，數(shù)列{b_n}滿足3^n-1b_n=a_2n-1
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算即得結(jié)論，再代入得到b_n=$\frac{4n-1}{{3}^{n-1}}$，
（Ⅱ）通過錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1（n≥2），
又∵S₁=1+2=3即a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+1；
∴3^n-1b_n=a_2n-1=2（2n-1）+1=4n-1，
∴b_n=$\frac{4n-1}{{3}^{n-1}}$，
（Ⅱ）T_n=$\frac{3}{1}$+$\frac{7}{3}$+$\frac{11}{{3}^{2}}$+…+$\frac{4n-5}{{3}^{n-2}}$+$\frac{4n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{3}{3}$+$\frac{7}{{3}^{2}}$+$\frac{11}{{3}^{3}}$+…+$\frac{4n-5}{{3}^{n-1}}$+$\frac{4n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=3+4（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{4n-1}{{3}^{n}}$=3+4•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{4n-1}{{3}^{n}}$=5-$\frac{4n+5}{{3}^{n}}$
∴T_n=$\frac{15}{2}$-$\frac{4n+5}{2•{3}^{n-1}}$

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．