Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln（x+m）-x（m為常數(shù)）在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值；
（Ⅱ）求當(dāng)x∈[$-\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-x²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用f′（0）=0求得實(shí)數(shù)m的取值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m值代入f（x）的解析式，可得g（x）=f（x）-x²，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x+m}-1$，
由題意知，f′（0）=$\frac{1}{0+m}-1=0$，解得m=1．
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，∴m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ln（x+1）-x，
則g（x）=f（x）-x² =ln（x+1）-x-x²（x$≥-\frac{1}{2}$）．
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}-1-2x=\frac{-x（2x+3）}{x+1}$．
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（0）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，是中檔題．