Question

3．已知函數f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）若f（x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據使函數的解析式有意義的原則，分a＞1和0＜a＜1，構造關于x的不等式，解不等式可得函數的定義域；
（2）根據復合函數的單調性，分a＞1和0＜a＜1，得到單調區(qū)間；
（3）若f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1，根據對數函數的單調性，分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論，可得相應的滿足條件的x的取值范圍．

解答 解：（1）要使函數f（x）有意義必須a^x-1＞0時，即a^x＞1，
①若a＞1，則x＞0，
②若0＜a＜1，則x＜0，
∴a＞1時，函數f（x）的定義域為：{x|x＞0}；
當0＜a＜1時當，函數f（x）的定義域為：{x|x＜0}；
（2）當a＞1時，函數f（x）為單調增函數，增區(qū)間為（0，+∞）；
當0＜a＜1時，函數f（x）為增函數，增區(qū)間為（-∞，0）；
（3）f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1，
①當a＞1，則x＞0，且a^x-1＞a，
∴x＞log_a（a+1）；
②當0＜a＜1時，則x＜0，且a^x-1＜a，
log_a（a+1）＜x＜0，
∴綜上當a＞1時，x的取值范圍是（log_a（a+1），+∞），
當0＜a＜1時，x的取值范圍是（log_a（a+1），0）．

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的定義域，分類討論思想，熟練掌握對數函數的圖象和性質是解答的關鍵．