Question

設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，焦點在x軸上，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4 ( 

2

-1 )，
（1）求此橢圓方程，并求出準線方程；
（2）若P在左準線l上運動，求tan∠F₁PF₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）由 b=c，a-c=4（

2

-1），及a²=b²+c²  解出 a、b、c 的值，即得橢圓的標準方程．
（2）設P（-8，t），設直線PF₁的斜率k₁，直線PF₂的斜率k₂，利用到角公式進行計算，由此能導出tan∠F₁PF₂的最大值．

解答：解：（1）設所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如圖，
B₁F₁⊥B₂F₁，
且|A1F1| =4 ( 

2

-1 )
∴

a-c=4 (  2 -1 ) b=c a2=b2+c2

（5分）
∴a²=32，b²=16（7分）
∴橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1，準線方程為x=±8（9分）
（2）設P（-8，t），∵F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
則tan∠F1PF2= |

8t

48+t2

| = |

8

48 t +t

| ≤

8

2 48

=

4

4 3

=

3

3

當P（-8，±4

3

）最大值為

3

3

（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，考查直線與圓錐曲線的位置關系，注意利用焦點到橢圓的最短距離為a-c．解題時要認真審題，仔細求解．